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Approches probabilistes en mécanique

Animateur : Régis Cottereau

jeudi 18 novembre 2004, par Helena Devillers

Contact : Régis Cottereau

Par exemple, la description détaillée de l’endommagement d’un matériau ou d’une structure, qui seule permettrait une prévision assurée de la durée de vie d’une pièce en fatigue, est hors de portée. Plutôt que de renoncer à toute prédiction ou d’adopter des « coefficients de sécurité » empiriques, peut-être exagérés, on peut alors recourir à une approche « probabiliste » qui considère des variables et des processus aléatoires dans le modèle mécanique et permet de rationaliser les incertitudes en déterminant les lois de probabilités des grandeurs étudiées.
Les sources de variabilité sont multiples : hétérogénéité de microstructure, présence de défauts non contrôlés, connaissance partielle des milieux étudiés, incertitudes sur les données, incertitudes sur les modèles, milieux aléatoires, environnement de phénomènes aléatoires, … Les approches probabilistes se sont notamment montrées pertinentes dans le cas de la résolution de problèmes de changement d’échelle (homogénéisation de milieux aléatoires, modèles probabilistes de rupture).
Au sein de la F2M plusieurs équipes travaillent de façon coordonnée et complémentaire afin d’étudier la modélisation de la fatigue des milieux granulaires, la réduction de modèles en dynamique non linéaire de systèmes mécaniques couplés , l’étude stochastique de l’interaction dynamique sol-structure, l’approche probabiliste du VER (volume élémentaire représentatif)… De plus, en réponse aux besoins exprimés par la F2M, ces équipes, dont les compétences sont reconnues au meilleur niveau international, travaillent de façon à répandre la culture probabiliste via l’organisation de diverses actions de formation. C’est le cas notamment du « Séminaire long de Formation de la F2M : Probabilité et Mécanique » qui est proposé annuellement aux doctorants et chercheurs de la fédération.

Indissociables des problèmes de rupture et endommagement, l’apport, au niveau de production de connaissances, de ce thème doit poursuivre son essaimage au sein de la F2M : par la formation et par le dialogue avec les autres équipes dans la recherche de solutions scientifiques innovantes.

Figure 1 : Il s’agit d’une modélisation aléatoire d’un matériau granulaire cohésif. Chaque grain est un solide rigide de forme aléatoire lié à ses voisins par des interfaces élastiques endommageables par fatigue. L’évolution de l’endommagement de chaque interface dépend de son état local et du nombre de cycles appliqués, via une loi de fatigue locale.


Fig. 2 : L’endommagement global par fatigue d’un échantillon du matériau décrit plus haut reste aléatoire même pour des volumes importants. Cette figure représente l’énergie de déformation emmagasinée dans un échantillon endommagé par fatigue cyclique, normalisée par celle de l’échantillon sain, en fonction du nombre de cycles appliqués, pour plusieurs tailles d’échantillons. On observe une convergence en moyenne de la courbe quand la taille de l’échantillon croît. Cependant, la dispersion reste significative, même pour les grands échantillons.


Pour en savoir plus…

- Cecchi A., Sab K., Discrete and continuous models for in plane loaded random elastic brickwork, European Journal of Mechanics A/Solids (2008), doi : 10.1016/j.euromechsol.2008.10.007

- Cottereau R., Clouteau D., Soize C.., Construction of a probabilistic model for impedances matrices, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 39(6), 831-838 (2007)

- Jeulin D. and Forest S., Continuum models and discrete systems 11. Eds. Les Presses Mines Paris ParisTech, France (2008)

- Soize C., Tensor-valued random fields for meso-scale stochastic model of anisotropic elastic microstructure and probabilistic analysis of representative volume element size, Probabilistic Engineering Mechanics, 23, 307-323 (2008)

- Lachihab A., Sab K., 2008. Does a representative volume element exists for fatigue life prediction ? The case of aggregate composites, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 32, Issue 9, 1005-1021.